Существует большое количество свободных и коммерческих программ для математических вычислений. Их можно разделить на две большие группы:

    1. Системы компьютерной алгебры — программы символьных аналитических вычислений;
    2. Программы для численных (числовых) вычислений.

Системы компьютерной алгебры

Системы компьютерной алгебры служат для выполнения аналитических вычислений. С их помощью можно выполнять следующие операции:

• осуществлять решение неопределенных интегралов (т.е. находить первообразную функции);
• вычислять определенные интегралы (в том числе несобственные);
• находить производные, в том числе производные сложных функций (т.е. выполнять дифференцирование);
• упрощать выражения (например, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые);
• решать алгебраические и дифференциальные уравнения;
• находить пределы функций и последовательностей;
• вычислять суммы рядов и бесконечные произведения;
• выполнять разложение функций в ряды;
• строить графики функций.
  

Система компьютерной алгебры Maxima

Программа Maxima имеет широчайший набор средств для проведения аналитических вычислений, численных вычислений и построения графиков. По набору возможностей система близка к таким коммерческим системам как Maple и Mathematica. В то же время она обладает высочайшей степенью переносимости. Это единственная из существующих систем аналитических вычислений, которая может работать на всех основных современных операционных системах. Существуют версии программы для основных операционных систем: Microsoft Windows (98/ME/2000/XP/2003/Vista/2008), GNU/Linux (Fedora, Slackware, Gentoo, Debian), MacOS X, FreeBSD, NetBSD.

Имеет несколько графических интерфейсов пользователя и графических надстроек: XMaxima (включен в поставку во многих ОС), wxMaxima и др. Может работать в режиме командной строки (используя псевдографику).

Программу Maxima бесплатно и без ограничений могут использовать как школьники и студенты, учителя и преподаватели, так и профессиональные математики и инженеры.

Онлайн-система компьютерной алгебры Wolfram|Alpha

Для того, чтобы быстро вычислить производную функции или интеграл, решить дифференциальное уравнение или систему алгебраических уравнений, можно воспользоваться онлайн-решателем Wolfram|Alpha.

Другие системы компьютерной алгебры

• Axiom — свободная (бесплатная) программа. Состоит из среды интерпретатора, компилятора и библиотеки, описывающей строго типизированную, математически правильную иерархию типов;
• Maple — проприетарная (коммерческая) программа. Предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования, напоминающий Паскаль;
• Mathematica — проприетарная (коммерческая) программа. Содержит множество функций как для аналитических преобразований, так и для численных расчётов. Кроме того, программа поддерживает работу с графикой и звуком, включая построение двух- и трёхмерных графиков функций, рисование произвольных геометрических фигур, импорт и экспорт изображений и звука.
  

Программы для численных вычислений служат для проведения численных инженерных и научных расчетов. С их помощью можно выполнять следующие операции:

• численно осуществлять операции матричной алгебры (сложение/вычитание, умножение, решение систем линейных уравнений, нахождение собственных значений и векторов);
• работать с разреженными матрицами (сборка, факторизация);
• разрабатывать алгоритмы и программы для реализации численных методов;
• осуществлять визуализацию данных: простую двумерную и сложную трехмерную (включая объемную визуализацию.
  

Популярные пакеты для численных вычислений.

Свободные (бесплатные) пакеты:

• Scilab - пакет прикладных математических программ, предоставляющий мощное открытое окружение для инженерных (технических) и научных расчётов;
• GNU OctaveGNU Octave — свободная среда для численных вычислений, использующая совместимый с MATLAB язык высокого уровня. Octave представляет интерактивный командный интерфейс для решения линейных и нелинейных математических задач, а также проведения других численных экспериментов. Кроме того, Octave можно использовать для пакетной обработки. Язык Octave оперирует арифметикой вещественных и комплексных скаляров и матриц, имеет расширения для решения линейных алгебраических задач, нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений, работы с полиномами, решения различных дифференциальных уравнений, интегрирования систем дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений первого порядка, интегрирования функций на конечных и бесконечных интервалах. Этот список можно легко расширить, используя язык Octave (или используя динамически загружаемые модули, созданные на языках C, С++, Фортран и др.).
  

Проприетарные (коммерческие) пакеты:

• MATLAB - пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений. MATLAB используют более 1000000 инженерных и научных работников, он работает на большинстве современных операционных систем, включая GNU/Linux, Mac OS, Solaris и Microsoft Windows.;
• Mathcad - программа для выполнения и документирования инженерных и научных расчётов;
• Origin - пакет программ фирмы для численного анализа данных и научной графики, работающий на компьютере под управлением операционной системы Microsoft Windows.